1. 5.1一些基本知识点
   1. 5.1.1矩阵的相似
      1. 自身、对称、传递
      2. A,B相似，则A,B的秩相同
      3. 相似于数域无关，不随数域的扩大而改变
      4. A~B，则Aⁿ~Bⁿ，f(A)~f(B)，且f(B)=P-¹f(A)P，A*~B*，A-¹~B-¹
      5. 分块相似
      6. 相似的矩阵有相同的特征多项式、行列式、迹、特征值，特征向量不一定相同
      7. 幂等矩阵相似于幂等矩阵，对合矩阵相似于对合矩阵、幂零矩阵相似于幂零矩阵、与正交矩阵相似的不一定是正交矩阵，但与正交矩阵正交相似的矩阵的正交矩阵
      8. tip:对于复矩阵Q=Q₁+iQ₂，构造Q₁+tQ₂，由于∣Q∣=∣Q₁+iQ₂∣≠0，故存在t≠0，使得Q₁+tQ₂可逆且为实方阵
   2. 5.1.2二次型及其矩阵
      1. X'AX的矩阵为1/2(A+A')
      2. A反称矩阵的充要条件是X'AX=0
   3. 5.1.3矩阵的合同
      1. 合同本质：A经过一系列相同的初等行列变换得到B
      2. 合同与数域有关
      3. 自身、对称、传递
      4. A,B合同，则r(A)=r(B)
      5. 二次型经过非退化线性替换，新二次型矩阵与原二次型矩阵合同
      6. A,B合同，则A,B的逆矩阵合同
      7. 分块合同
      8. 打洞原理就是合同变换
      9. 与实对称矩阵合同的还是实对称矩阵
      10. 数域P上任意一个对称矩阵都合同与一个对角矩阵，并且对角矩阵不唯一
          1. 数学归纳法：对元素进行讨论
      11. 二次型化为标准型：将(A E) 做相同的行列变换，上面化为对角形，下面为C，X=CY就是非退化线性替换
      12. 相同的标准型可能通过不同的线性替换得到
      13. 复数域上，两个对称矩阵合同的充要条件是它们的秩相同（E和-E在复数域合同） 实数域上，两个实对称矩阵合同的充要条件是它们有相同的正负惯性指数（E和-E在实数域不合同）
   4. 5.1.4正定与半正定
      1. 正定
         1. 正定二次型：任意不全为0的x₁,x₂,,,，二次型f(x₁,x₂,,,)>0。 正定矩阵：实对称矩阵（前提）A，任意非零实列向量X,X'AX>0。
         2. 与单位矩阵合同的是正定矩阵
         3. 非退化线性替换保持正定性不变 与正定矩阵合同的仍是正定矩阵
         4. n元二次型正定的充要条件是正惯性指数为n 实对称矩阵正定的充要条件是其合同于一个主对角元素全为正的对角矩阵
         5. 实矩阵A正定的充要条件是存在可逆C，使得A=CC'(C'C)
         6. 正定矩阵行列式大于0
         7. 实对称矩阵A正定的充要条件是A的所有顺序主子式大于0
            1. 用来验证A是否正定
            2. 数学归纳法
         8. 实对称矩阵A正定的充要条件是A的所有主子式大于0
         9. 实对称矩阵A正定的充要条件是A的特征值大于0
         10. A-¹，A*，Aⁿ，A+B都正定，AB不一定正定（可能不对称）
         11. The:A,B正定，则AB的所有特征值大于0，所以AB正定的充要条件是AB为实对称矩阵，即AB=BA
      2. 半正定
         1. 半正定二次型：任意不全为0的x₁,x₂,,,，二次型f(x₁,x₂,,,)≥0。 半正定矩阵：实对称矩阵(前提)A，任意非零实列向量X,X'AX≥0。
         2. 与Er,O合同的对称矩阵是半正定矩阵
         3. 半正定矩阵的正惯性指数与秩相同 实对称矩阵半正定的充要条件是其合同于一个主对角线都非负的对角矩阵
         4. 非退化线性替换保持半正定性不变 与半正定矩阵合同的仍是正定矩阵
         5. n元二次型半正定的充要条件是正惯性指数与秩相等
         6. A半正定的充要条件是存在C可逆，使得A=C'diag{Er,O}C，A=C'C
            1. 半正定矩阵的两种拆分
         7. 半正定矩阵行列式大于等于0
         8. 实对称矩阵A半正定的充要条件是A的所有主子式大于等于0
         9. 实对称矩阵A半正定的充要条件是A的特征值大于等于0
2. 5.2一些简单的（半）正定问题
   1. A正定矩阵：aii>0 A的所有元素中，绝对值最大的元素一定在主对角线上，从而也一定为正数
   2. A实对称，存在t>M,使得tE±A正定
   3. α是n维列向量，αα‘是半正定矩阵
3. 5.3正定与半正定的C'C
   1. α实列向量，α=0的充要条件是α‘α=0
   2. r(A'A)=r(A)
   3. A'A是半正定矩阵，A'A是正定矩阵的充要条件是A列满秩
      1. tip:(E-A')(E-A)半正定，同时(E-A')(E-A)=(E-A)(E-A')也是半正定的
   4. A正定，B'AB正定的充要条件是B列满秩
   5. 半正定手法：A半正定，X是n列向量，且X'AX=0,则AX=0
   6. A非实对称，A'+A实对称
      1. X'AX>(≥)0,则A+A'为(半)正定矩阵
4. 5.4施密特正交化与矩阵的分解
   1. 施密特正交化过程： The:任意一个实可逆矩阵都可以分解成一个正交矩阵与一个主对角元都为正数的上三角矩阵的乘积，且分解唯一
5. 5.5实对称矩阵的正交对角化
   1. 5.1.1基本结论
      1. A,B正交相似：存在正交矩阵T,使得B=T-¹AT=T'AT 即A,B相似又合同
      2. 实对称矩阵的特征值都是实数
         1. 共轭转置法
      3. 任意实对称矩阵A都正交相似于一个对角矩阵
         1. 数学归纳法
      4. A,B是实对称矩阵，A与B(正交)相似的充要条件是A与B有完全相同的特征多项式(特征值)
         1. A'A与AA'有完全相同的特征多项式，从而A'A与AA'正交相似
            1. 进一步：(A'+E)(A+E)与(A+E)(A'+E)正交相似
      5. 任意一个实二次型都可以通过正交替换化为标准型
   2. 5.5.2定理应用
      1. A,B对称，AB=BA,则T'ATT'BT=T'BTT'AT
   3. 5.5.3方法应用
      1. A不可逆，则0是A的特征值
      2. 任意n级复矩阵一定正交相似于一个上三角矩阵
         1. 数学归纳法
6. 5.6正交矩阵的进一步讨论
   1. 正交矩阵的特征值为±1
   2. α是实n维单位列向量，En-2αα'是一个对称正交矩阵
   3. 正交矩阵某对角线元素为±1，则±1之外其他行列元素为0
7. 5.7反称矩阵
   1. 和反称矩阵合同的仍为反称矩阵
   2. 实反称矩阵的特征值为0或者纯虚数，虚特征值成对出现，奇数阶的实反称矩阵以0为特征值，且行列式为0
8. 5.8化为规范性或标准型
   1. 5.8.1惯性定理的证明及其应用
      1. 惯性定理：任意实数域上的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规范性，且规范形是唯一的
   2. 5.8.2非退化线性替换化为规范性
      1. 巧妙构造线性替换
   3. 5.8.3正交替换化为标准型
      1. λnX'X≤X'AX≤λ₁X'X，λ₁，λn分别对应n阶实对称矩阵A的最大特征值和最小特征值
         1. A实对称，取X=(1,1,1...1)'，则X'AX等于A的所有元素求和
         2. 注:AX表示每一行求和
9. 5.9矩阵可对角化的条件
   1. 可对角化：相似于对角矩阵
      1. A可对角化，则A*、f(A)、A-¹可对角化
   2. 5.9.1可对角化的判别条件
      1. A可对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量
      2. 数域K上n阶A可对角化的充要条件是A的复特征值都属于K，且属于不同特征值的特征子空间的维数之和为n
      3. 数域K上n阶A可对角化的充要条件是A的复特征值都属于K，且每个特征值的重数(代数重数)等于对应子空间的维数(几何重数)
         1. 代数重数(特征值重数)≥几何重数(维数)
   3. 5.9.2最小多项式的应用
      1. 数域K上n阶A可对角化的充要条件是它的最小多项式在数域K上可分解为互素的一次因式的乘积
         1. A只要存在可以分解成互素的一次因式的乘积的零化多项式，那么A可以对角化
      2. 补充： 幂等矩阵(A²=A)可以对角化，特征值为0,1 对合矩阵(A²=E)可以对角化，特征值为±1 幂零矩阵不可以对角化
   4. 5.9.3矩阵可交换与同时对角化
      1. 不要求对交矩阵相同
10. 5.10幂等矩阵
    1. A²=A
       1. A是幂等矩阵的充要条件是r(A)+r(A-E)=n
       2. 幂等矩阵可以对角化
       3. A幂等矩阵，则r(A)=tr(A)
       4. 所有秩为1迹为1的矩阵是幂等矩阵——A²=tr(A)A
    2. 对任意单位实列向量α，则E-αα’是一个对称的幂等矩阵，E-2αα‘是一个对称的正交矩阵
       1. αα’的特征值为0,0....0,1
    3. 经典结论
       1. (3)手段：
11. 5.11相似与合同的综合应用
    1. 5.11.1正定问题
       1. A正定，B半正定，则|A+B|≥|A|+|B|
       2. 证明行列式不等式重要手段
    2. 5.11.2半正定问题
       1. 半正定矩阵的某个对角元为0，则该对角元所在的行和列的其他元素也都为0
       2. 半正定矩阵的打洞原理
12. 5.12矩阵方程AX—XB=0
    1. AX—XB=0的解空间的维数刻画A,B的相似程度
    2. An,Bm,AX=XB只有零解的充要条件是A,B没有公共的特征值
       1. 方法：A,B没有相同的特征值，则A,B的特征多项式f(x),g(x)互素，结合f(A)=0，则u(A)f(A)+v(A)g(A)=v(A)g(A)=E，故g(A)是可逆矩阵，则g(A)X=Xg(B)=0，又g(A)可逆，则X=0
    3. 解决AX—XB=C之类问题：定义线性变换，证明存在零解，即是单射，从而满射，故存在原像即为解
13. 5.13矩阵分解
    1. 4.5节：等价标准型分解
    2. 5.4节：施密特正交化：可逆实矩阵分解为正交矩阵与一个主对角全为正数的三上角矩阵的乘积
    3. 方阵分解为可逆矩阵和幂等矩阵的乘积
    4. 对diag{Er,O}的拆分
    5. 对角矩阵开根拆分，同时正交矩阵可以进入跟次下
       1. 推广